\subsection{三角形的内切圆}\label{subsec:czjh2-7-10}

从一块三角形的材料上裁下一块圆形的用料，怎样才能使圆的半径尽可能大呢？这实际是下面的问题。

\zhongdian{作圆，使它和已知三角形的各边都相切。}

已知： $\triangle ABC$ （图 \ref{fig:czjh2-7-39}）。

求作： 和 $\triangle ABC$ 的各边都相切的圆。

分析：要作一个圆与  $\triangle ABC$ 三边都相切，就是要求出一点作为圆心，使它到三边的距离相等。
以前我们学过三角形三个内角的平分线相交于一点，这一点到三边的距离相等。由此可得三角形内切圆的作法。

\zuofa 1. 作 $\angle B$、$\angle C$ 的平分线 $BM$ 和 $CN$，交点为 $I$。

2. 过点 $I$ 作 $ID \perp BC$，垂足为 $D$。

3. 以 $I$ 为圆心， $ID$ 为半径作 $\yuan\,I$。

$\yuan\,I$ 就是所求的圆。

\zhengming 过点 $I$ 分别作 $CA$、$AB$ 的垂线，垂足为 $E$、$F$。

$\because$ \quad  $I$ 在 $\angle ABC$、$\angle ACB$ 的平分线上，

$\therefore$ \quad $IF = ID$，$IE = ID$。

$\therefore$ \quad $D$、$E$、$F$ 都在 $\yuan\,I$ 上。

又因为 $BC$、$CA$、$AB$ 经过点 $D$、$E$、$F$， 且 $BC \perp ID$、$CA \perp IE$、$AB \perp IF$，
所以 $\triangle ABC$ 的三边 $BC$、$CA$、$AB$ 都与 $\yuan\,I$ 相切。

因为三角形的三条角平分线有一个且只有一个交点，所以，
和三角形的各边都相切的圆可以作出一个且只可以作出一个。

和三角形各边都相切的圆叫做\zhongdian{三角形的内切圆}，
内切圆的圆心叫做三角形的\zhongdian{内心}，
这个三角形叫做\zhongdian{圆的外切三角形}。

一般地，和多边形的各边都相切的圆叫做\zhongdian{多边形的内切圆}，
这个多边形叫做\zhongdian{圆的外切多边形}。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-39}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-39}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-40}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-40}
    \end{minipage}
\end{figure}

图 \ref{fig:czjh2-7-40} 中， $\yuan\,O$ 是四边形 $ABCD$ 的内切圆，四边形 $ABCD$ 是 $\yuan\,O$ 的外切四边形。


\liti[0] \zhongdian{圆的外切四边形的两组对边的和相等。}

已知：四边形 $ABCD$ 的边 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 和 $\yuan\,O$
分别相切于点 $L$、$M$、$N$、$P$（图 \ref{fig:czjh2-7-40}）。

求证： $AB + CD = AD + BC$。

证明： 因为 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 都与 $\yuan\,O$ 相切，$L$、$M$、$N$、$P$ 是切点，

$\therefore$ \quad $AL = AP$， $LB = MB$， $DN = DP$， $NC = MC$。

$\therefore$ \quad $\begin{aligned}[t]
      & AL + LB + DN + NC \\
    = & AP + MB + DP + MC \\
    = & AP + DP + MB + MC \douhao
\end{aligned}$

即 \quad $AB + CD = AD + BC$。


\begin{lianxi}

\xiaoti{设 $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 和各边分别相切于点 $D$、$E$、$F$，
    $\angle DIE = 118^\circ$， $\angle FID = 144^\circ$。
    求 $\triangle ABC$ 各内角的度数。
}

\begin{figure}[htbp]
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    \begin{minipage}[b]{5.6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec10-lx-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec10-lx-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.9cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec10-lx-03}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{设 $\triangle ABC$ 的边 $BC = a$、 $CA = b$、 $AB = c$， $s = \exdfrac{1}{2} (a + b + c)$，
    内切圆 $I$ 和 $BC$、$AC$、$AB$ 分别相切于点 $D$、$E$、$F$。求证：
    \begin{gather*}
        AB = AF = s - a \douhao \\
        BF = BD = s - b \douhao \\
        CD = CE = s - c \juhao
    \end{gather*}
}

\xiaoti{$\triangle ABC$ 中， $\angle C$ 是直角， 内切圆 $I$ 和边 $BC$、$CA$、$AB$ 分别相切于点 $D$、$E$、$F$。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{求证：四边形 $CDIE$ 是正方形。}

    \xxt{设 $BC = a$、 $CA = b$。 用 $a$、$b$ 表示内切圆半径 $r$。}
\end{xiaoxiaotis}

\end{lianxi}
